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國三理化 - 自由落體與拋射運動重點筆記
定義
自由落體運動是指物體僅受重力作用而自由下落的運動，忽略空氣阻力的影響。在自由落體中，物體的初速度為零，運動過程中速度逐漸增加。
公式與基本概念
| 物理量 |
符號 |
公式 |
單位 |
| 初速度 |
\( v_0 \) |
\( v_0 = 0 \) |
m/s |
| 加速度 |
\( g \) |
\( g = 9.8 \, m/s^2 \) |
m/s2 |
| 末速度(瞬時速度) |
\( v \) |
\( v = g \cdot t \) |
m/s |
| 高度 |
\( h \) |
\( h = \frac{1}{2} g t^2 \) |
m |
| 時間 |
\( t \) |
\( t = \frac{v}{g} \) |
s |
公式推導
自由落體運動可以從直線運動的基本公式推導出來。由於初速度 \( v_0 = 0 \)，因此運動方程簡化為：
速度與時間關係
速度隨時間的變化由以下公式描述：
\[
v = v_0 + g \cdot t = g \cdot t
\]
高度與時間關係
物體落下的高度與時間的關係如下：
\[
h = v_0 t + \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} g t^2
\]
高度與速度關係
高度與速度的關係可以從上述公式推導出來：
\[
v^2 = v_0^2 + 2gh = 2gh
\]
v-t圖代表的意義
自由落體的特徵
- 重力加速度 \( g \) 在地球表面約為 \( 9.8 \, m/s^2 \)，但在不同的星球上可能不同。
- 物體的質量不影響自由落體的加速度，所有物體在相同的條件下會同時落地（假設沒有空氣阻力）。
- 物體的速度隨時間線性增加，但高度隨時間平方增加。
伽利略的自由落體實驗
伽利略是第一位提出所有物體無論質量大小，若只受重力作用，將以相同加速度下落的科學家。他在著名的比薩斜塔實驗中，從塔頂同時拋下不同質量的物體，結果證明兩個物體同時落地，推翻了亞里士多德認為重物比輕物下落更快的觀點。
波以耳的真空實驗
羅伯特·波以耳進一步驗證了伽利略的理論，進行了真空實驗。在實驗中，他將羽毛和硬幣放在一個抽真空的玻璃管中，當真空環境下空氣阻力消失後，羽毛和硬幣以相同的速度同時下落，證明空氣阻力對自由落體有顯著影響。
自由落體的應用
自由落體運動在現實生活中有許多應用，例如降落傘運動、自由跳水等。在這些情況下，分析物體的速度和高度變化對理解運動過程非常重要。
拋射運動
拋射運動是指物體以初速度 \( v_0 \) 拋出後，同時受到水平方向和鉛直方向運動的作用。在水平方向上，物體的速度不變，而在鉛直方向上，物體受到重力加速度 \( g \) 的作用。
例題
小明從高處將質量10公克的硬幣由靜止開始釋放，使其自由落下，如下表已知物體在3秒後落地。回答下列問題(忽略空氣阻力)。
| 落下時間 (s) |
0 |
1 |
2 |
3 |
| 落下距離 (m) |
0 |
4.9 |
19.6 |
? |
- ➀簡單繪出距離(x)與時間(t)關係圖,速度(v)與時間(t)關係圖,加速度(a)與時間(t)關係圖。
- ➁求重力加速度g多少m/s²?
- ➂從高處到落地共幾公尺?
- ➃第2秒末瞬間的速度,第3秒末瞬間的速度各為何?
- ➄若將物體改60公克的雞蛋和240公克的石頭,其3秒後落下的距離各為多少?
Ans:
➀
➁\( h = \frac{1}{2} g t^2 \), \( 19.6 = \frac{1}{2} × g × 2^2 \) → g = 9.8 m/s²;
➂t = 3 落地, \( h = \frac{1}{2} × 9.8 × 3^2 \) , h = 44.1, 共 44.1 公尺。
➃\( v = g \cdot t \), v2 = 9.8 × 2 = 19.6 , v3 = 9.8 × 3 = 29.4; 第2秒末 19.6 m/s , 第3秒末 29.4 m/s。
➄所有物體無論質量大小，若只受重力作用，將以相同加速度下落, 所以雞蛋和石頭和硬幣均為44.1 公尺。
觀念與迷思
若以 \( v = \frac{距離}{時間}\) , 第2秒 \( v = \frac{19.6}{2}\) = 9.8 m/s 此值是0 ~ 2 內的平均速度所以不同於第2秒 29.4 m/s 瞬時速度。
此題若以平均速度求加速度\( a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \), 會得到a = 4.9 m/s², 而不是正確答案 9.8 m/s²